La 440 Hz vs. La 432 Hz

Esta entrada resume la investigación que realizó el compositor Sebastián Muro, alumno de la materia de Acústica y Psicoacústica de la Facultad de Música de la UNAM.

Historia de la afinación estándar La = 440 Hz y el esoterismo a su alrededor

Contexto

– En Acústica, Hz es la medida para determinar a cuántos ciclos por segundo se está produciendo una vibración, dando lugar a una frecuencia que puede ser percibida como un sonido o una nota musical.

– La afinación estándar para la construcción de instrumentos, aprendizaje y práctica musical en el mundo occidental actualmente es a partir de la nota de referencia La = 440Hz.

– Hoy en día existen cuestionamientos comunes en el mundo de la práctica musical de por qué usamos esta referencia y si otras son mejores (ej. La = 432 Hz, La = 528 Hz).

Historia de la Estandarización de la Afinación

– La estandarización de la afinación en la práctica de la música occidental tuvo lugar a lo largo del siglo XX. Anterior a eso, la afinación varió a través de los siglos y de lugar en lugar por distintas razones.

– Las investigaciones de antiguos órganos e instrumentos anteriores a 1600 revelan que las afinaciones variaban desde frecuencias tan bajas como La = 377 Hz hasta frecuencias como La = 567 Hz.

– Era común en la práctica musical de los siglos XVI, XVII y XVIII, cuando la música viajaba de un lugar a otro, componer partituras en varias tonalidades e incluso transportar a primera vista en caso de que la afinación fuera un problema para los instrumentos del lugar o para la voz.

– Los registros de antiguos diapasones alemanes del siglo XVIII registran un promedio de afinación en La = 420 Hz.

– El diapasón personal de Händel, encontrado en Inglaterra registra un La = 422.5 Hz.

– El diapasón del constructor de pianos vienés Johann Andreas Stein registra un La = 421.6 Hz. Este buen hombre fue el afinador de los pianos de Haydn, Mozart y Beethoven, por lo que es muy probable que esa fuera la afinación predilecta para su música.

– En el siglo XIX, la afinación empezó a subir de frecuencia. La razón principal fue el incremento en el tamaño de las salas de concierto y por lo tanto una audiencia más numerosa. Esto permitía que las obras, al subir la afinación, crearan más tensión y momentos climáticos más satisfactorios para el público, a la vez que creaba una percepción de que la música era más brillante.

– Esta situación promovió que los constructores de instrumentos de alientos (instrumentos con afinación fija) modificaran la producción para conseguir afinaciones más altas. Como consecuencia, se produjo un desarrollo técnico también en los instrumentos de cuerda para que las cuerdas soportaran mayor tensión.

– El resultado derivó en que piezas que habían sido pensadas en afinaciones como La = 422 Hz estaban siendo interpretadas en afinaciones tan altas como La = 450 Hz.

– Esto produjo, naturalmente, una problemática para la música vocal.

– Es en 1859, en Francia, cuando surge el primer intento de estandarización de afinación. Un comité designado por el gobierno francés dictaminó La = 435 Hz como ley de afinación en el país. Esta frecuencia es un promedio entre las afinaciones utilizadas comúnmente.

– Por otro lado, en la década de 1880, los científicos desarrollaron la capacidad de medir el cambio de afinación debido a la temperatura en el ambiente.

– Con 1°F de diferencia, la afinación varía 1/1000 Hz.

– En Inglaterra se llegó a creer (erróneamente) que la estandarización francesa no era un número de Hz exactos, sino que se basaba en la temperatura (59°F) en la sala de conciertos. Por lo tanto, la Sociedad Filarmónica de Inglaterra decidió que, por la variación en la temperatura ideal de las salas de concierto (68°F) se haría una media para definir la afinación estándar en Inglaterra.

– 435 + [(68-59)÷1000 × 435] = 438.915 Hz

– Fue en 1896 que estos 438.915 Hz  se redondearon a 439 Hz, y esta frecuencia se convirtió en la afinación estándar inglesa.

– Mientras en Estados Unidos no se había decretado una afinación estándar, el creciente negocio de las radio comunicaciones alrededor de la década de 1930 empezó a presionar para que existiera una estandarización en la música de Europa y Estados Unidos.

– En 1939 se llevó a cabo una conferencia internacional en Londres que decretó la afinación estándar como La = 440 Hz (redondeando el La = 439 Hz inglés).

– Posteriormente esta estandarización fue reafirmada por la Organización Internacional de Estandarización en noviembre de 1955 y en enero de 1975.

Fuentes

1.- “A brief history of the establishment of international standard pitch a=440 hertz”. Artículo por Lynn Cavenagh

2.- “Music Theory 432Hz: Separating Fact from Fiction”. https://ask.audio/articles/music-theory-432-hz-tuning- separating-fact-from-fiction. Artículo por Assaf Dar Sagol

3.- “The History of Musical Temperament and Pitch Before 1750” (1996). Artículo por Christine Denton

4.- “The History of Musical Tuning and Temperament During the Classical and Romantic Periods” (1997). Artículo por Christine Denton

 

Esoterismo

La superioridad de la afinación en 432Hz

Existe una tendencia actual en sitios de Internet y de difusión cibernética (como Blogs y canales de YouTube) a favorecer la afinación en La = 432 Hz por razones esotéricas, matemáticas y espirituales. Esta tendencia no solo hace una dura crítica a la estandarización de La = 440 Hz, sino también al Temperamento Igual, argumentando que la Afinación Pitagórica es mejor para nuestros cuerpos y mentes.

Según estas fuentes, existen ciertas ventajas de la afinación La = 432 Hz:

– Al parecer, la frecuencia 432 Hz está conectada matemáticamente con otras frecuencias halladas en la naturaleza, como la vibración de la Tierra; expresada por las Resonancias Schumann (resonancias electromagnéticas generadas por descargas de luz en la cavidad formada entre la superficie de la Tierra y la Ionósfera. Estas resonancias tienen su frecuencia fundamental alrededor de 7.83 Hz. FUENTE: https://en.wikipedia.org/wiki/Schumann_resonances).

– Las ondas Alfa en nuestro cerebro (Oscilaciones neuronales que oscilan en un rango de frecuencia entre 7.5 y 12 Hz. Estas ondas se presentan en nuestro cerebro cuando está en relajación y en algunas fases del sueño. FUENTE: https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_wave)

– El Canto del Sol: el Sol produce oscilaciones capaces de crear frecuencias bajas. Astrónomos de Stanford aceleraron estas frecuencias aproximadamente 42,000 veces; lo cual produce una frecuencia de 144 Hz. 432 Hz es el tercer armónico de esta frecuencia. FUENTE: http://scalarheartconnection.blogspot.com/2014/11/the- sun-is-singing-to-our-hearts.html

– Antiguas culturas afinaban sus instrumentos en 432 Hz.

– Cuencos tibetanos usados por monjes budistas se afinan en 432 Hz.

– Se le atribuye a Pitágoras principalmente la utilización de la afinación en 432 Hz.

– Mozart y Verdi preferían 432 Hz.

– Gracias a la conexión natural que esta frecuencia tiene con nuestro cuerpo, posee poderes curativos y relajantes. FUENTES: https://ask.audio/articles/music-theory- exploring-the-432hz-tuning-debate y https://attunedvibrations.com/432hz/.

432 Hz y Afinación Pitagórica

– Según otras fuentes, para tener los verdaderos beneficios curativos, no solo es necesaria la afinación en 432 Hz, sino afinar los instrumentos con Afinación Pitagórica. FUENTES: https://www.roelhollander.eu/en/432- tuning/concert-pitch-vs-tuning-system/ y https://ask.audio/articles/music-theory-exploring- the-432hz-tuning-debate

Otra Frecuencia Enigmática

A = 444 Hz, C = 528 Hz. FUENTE: https://attunedvibrations.com/528hz-tuning/

Debate

– Muchos argumentos que se presentan a favor de la supremacía de 432 Hz son falsos:

1.- Las Antiguas culturas no tenían manera de usar 432 Hz.

2.- Pitágoras no la propuso.

3.- Los cuencos tibetanos no están afinados en 432 Hz.

4.- Mozart y Verdi usaron varias afinaciones diferentes a 432 Hz.

– No se han comprobado científicamente los poderes curativos de la afinación en 432 Hz ni de la Afinación Pitagórica.

– El único que propuso algo parecido a la afinación La = 432 Hz (C=256Hz) fue Joseph Saveur (1653 – 1716). La razón de esta propuesta era para que el Do fuera una potencia de 2. FUENTES: https://ask.audio/articles/music-theory-432-hz- tuning-separating-fact-from-fiction y “The Contributions of Joseph Saveur to Acoustics – Volume I”. Artículo por Robert E. Maxham

 

Otras referencias

Existen también otras fuentes en las cuales se puede encontrar más acerca del debate.

Aquí se contrarresta la explicación dada en cuanto a que 432 Hz es superior a 440 Hz:

– Paul Davids “The Ultimate 432Hz VS 440Hz | CONSPIRACY + Comparison”.  https://www.youtube.com/watch?v=Rt3EAPDn-Ug

– Adam Neely “A 432”. https://www.youtube.com/watch?v=EKTZ151yLnk

– Adam Neely “Which Key is the Saddest” https://www.youtube.com/watch?v=6c_LeIXrzAk

 

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¿Para qué saber de las afinaciones y temperamentos históricos?

Entrada escrita por Santiago Echenique, estudiante de Música de la UNAM.

Afinación Pitagórica

En una ocasión que toqué un dueto con un violín (yo en el saxofón) y me resultó más pesado el trabajo de afinación que con el de un piano; en un  pasaje, una misma nota podía variar su afinación de acuerdo al contexto del violín. Yo había escuchado en algún lugar que, en las cuerdas frotadas, un la bemol no es lo mismo que un sol sostenido; a diferencia del piano, en el que las enarmonías suenan exactamente igual, pero no sabía exactamente a qué se refería. Así que al momento de ensayar con el violinista, sólo me intentaba guiar lo más que podía de mi oído. Seguimos ensayando y notaba que, aunque yo supiera que llegaba a la misma afinación de una nota, quizá sólo dos compases adelante tenía que variar ligeramente la afinación, a veces por el contexto armónico y por las referencias dadas ya en el violín, es decir, sus cuerdas al aire, y otras veces para mejorar la línea melódica. En ocasiones, mi amigo sólo me decía que tal o cual intervalo tenía que ser grande o chico para la expresividad pero en realidad no me pudo explicar muy bien porqué.

En fin, todo salió bien al final y cada quien siguió su vida. Yo seguí estudiando afinación con un piano, pero ahora había intervalos que no me gustaba cómo sonaban en un piano y los acordes no me daban el brillo como los que llegaba a formar junto con mi amigo violinista. En realidad, durante los años que he cursado nadie me había explicado nada de afinación y cuando mi profesor hablaba de afinación en contexto melódico se guiaba con el afinador electrónico, cosa que tampoco me dejó nada en claro; sólo me dejaba guiar por mi oído.  Hasta que me inscribí a una clase optativa llamada “Psicoacústica” y empecé a conocer acerca de todos los fenómenos físicos que hay detrás de la música.

Toda esta anécdota la cuento porque al momento de leer  un par de libros acerca de afinación y temperamentos, siento que los escritores se desentienden un poco de los músicos y aún más de los estudiantes que no saben por dónde empezar. Además de esto, en la universidad preguntaba por aquí y por allá y nadie me podía dar un explicación acerca de eso, así que lo complicó un poco más, pero poco a poco pude ir desmenuzando y entendiendo un poco todo este asunto de afinaciones y temperamentos.

Para empezar, definiré temperamento y afinación para que podamos saber por qué el sistema pitagórico es una afinación y no un temperamento. Según J. Murray Barbour, la afinación es el sistema con el cual los intervalos se pueden expresar por medio de relaciones entre dos enteros, y de estos sólo existen dos: la afinación justa y la pitagórica. El temperamento es una modificación de la afinación donde se necesita de números radicales para expresar algunos o todos los intervalos.

La afinación pitagórica se basa en sólo en dos intervalos: la quinta y la octava. La primera de relación 3:2 y la última de 2:1. Así que para obtener las notas sólo tienes que ir sumando las quintas y sustrayendo las octavas. Es decir, si empezamos en Do, vamos Do-Sol, y a esas dos notas no tenemos que sustraer la octava porque se encuentra el Sol en la misma octava que Do. Seguimos: Do-Sol-Re-La… Entonces, vas por quintas y reduces las octavas (hay un proceso matemático muy sencillo que no explicaré porque ese no es el propósito del artículo, pueden consultarlo en el libro Estudio completo de las comas acústicas y el resto de los intervalos en los distintos sistemas de afinación de Juan María Gallaga Sabín), así se puede obtener la escala diatónica o la cromática. En la afinación pitagórica existen dos tipos de semitono: el apotomé o semitono mayor cromático y el limma o el semitono menor. Son llamados mayor y menor porque su distancia es diferente. El semitono mayor  en realidad no fue usado y causa problemas en nuestro contexto musical.

El sistema de afinación pitagórica fue usado en Grecia y posteriormente en la Edad Media en el canto llano; en estos contextos es útil ya que es música monódica y estable en tonalidad. El problema surge con la polifonía europea. El problema de la afinación pitagórica es que no es sistema cíclico, lo que significa que no tiene fin porque al llegar al enarmonía de alguna nota, esta será una comma pitagórica más alta. Es decir, si vamos por quintas Mib-Sib-Fa-Do-Sol-Re-La-Mi-Si-Fa#-Do#-Sol#-Re#, Mib y Re# tienen alturas diferentes y a su diferencia le llaman comma pitagórica. La comma pitagórica también es la diferencia entre un semitono mayor y uno menor.

Con el paso del tiempo surgieron nuevas necesidades musicales que la afinación pitagórica ya no podía satisfacer y tampoco la afinación justa, así que fue necesario desafinar (temperar) los sistemas usados para que así fuera cíclicos y regulares. A lo largo de este proceso se han hecho muchas propuestas de temperamentos y, hoy en día,  la más aceptada es el temperamento igual, que significa partir en doce partes iguales la octava.

Esto es sólo una parte de la afinación pitagórica y en realidad hay que tener información de la afinación justa y de los temperamentos más sobresalientes para hacer sus propias conclusiones. Por el momento sólo puedo decir que como intérprete el conocer los distintos tipos de afinación y temperamentos me ayudan a una interpretación más precisa en música antigua, pero también pienso que en música moderna se podría sacar provecho de los sistemas y hacer esos pequeños cambios que pueden dar más expresividad a la música.

Comparto unos videos donde en el primero hace comparación entre afinación justa y pitagórica y el segundo habla del porqué usar afinación justa es un problema.

https://www.youtube.com/watch?v=R75unSXKJXQ

https://www.youtube.com/watch?v=XhY_7LT8eTw

 

Santiago Echenique

 

Ondas Estacionarias en la flauta transversa

por Ana Emilia Castañeda


El sonido de la flauta es producto de la vibración del aire que golpea con el biseli, ahí se forma la onda. Vibran los bordes desde la cabeza hasta el otro extremo, así inicia el recorrido de la onda a través del cuerpo. La onda viaja a través del tubo pero cuando llega al final se encuentra con un cambio de medio debido a la presión atmosférica. Para la onda esto es una resistencia y el 5% de la onda sale al exterior mientras que el 95% rebota y da la vueltaii, ambas ondas se suman y así se forman los nodos y antinodos. Como es un tubo abierto – abierto, en los extremos la onda tiene una zona de mínima presión. Los orificios del cuerpo permiten formar presión atmosférica dentro y así, formar nodos de presión. Su posición determina la longitud de la onda estacionaria producida, por lo tanto, la altura de las notas.

FLAUTA1

Imagen tomada de http://www.aflauta.com.br/hist/fisica_de_la_flauta.pdf

Por lo tanto encontramos ondas estacionarias longitudinales, que se propagan a lo largo del tubo y se reflejan en los extremos. La reflexión se produce más lejos del final del tubo debido a que la onda, en contacto con la atmósfera, se propaga en todas las direcciones.

La flauta produce con su fundamental una longitud de onda que equivale a dos veces la longitud del tubo. Si una flauta mide aproximadamente 0.6 metros, la longitud de onda de su sonido fundamental medirá 1.2 metros (Mora, 2017).

La flauta es un tubo abierto- abierto, las frecuencias de vibración natural forman una serie de armónicos, los más altos son múltiplos enteros del frecuencia fundamental.

FLAUTA2

Imagen tomada de https://ricuti.com.ar/no_me_salen/ondas/Ap_ond_12.html

Al dividir en segmentos una columna de aire en el primer caso se obtiene el sonido llamado fundamental, y en los otros los armónicos: segundo, si la columna vibra dividida en mitades; tercero, si vibra en tercios, etc.

Tomando como punto de partida el que en los extremos de un tubo abierto sólo pueden haber antinodos de vibración, el tubo producirá su fundamental cuando vibre con un nodo único en su centro. Cuando el tubo produce su segundo armónico, producirá dos nodos y tres antinodos; cuando produce su tercer amónico, producirá tres nodos y 4 antinodos, etc.

FLAUTA3FLAUTA4FLAUTA5

Imágenes tomadas de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/acustica/tubos/tubos.html

FLAUTA6

Imagen tomada de https://miguelmorateorganologia.wordpress.com/vibraciones-de-los-tubos-sonoros/tubos.html

Sonido fundamental: en el centro del tubo se produce un nodo y en cada extremo un antinodo.

Segundo armónico (la octava de la fundamental): en el interior del tubo se producen dos nodos y tres antinodos.

Tercer armónico (doceava): en el interior del tubo se producen tres nodos y cuatro antinodos.

Esto lo explica el Principio de superposición (por eso escuchamos los armónicos al mismo tiempo y definimos el timbre de la flauta).

Fuentes:

 

El problema de la afinación

A lo largo de la historia, se ha tenido registro de las alturas que han tenido las notas de la escala musical. No siempre han sido las que conocemos ahora; ni su afinación ni el tamaño de los intervalos entre notas, es decir, sus proporciones. Por ejemplo, el intervalo de quinta justa es más pequeño ahora que antes. En realidad tenemos una quinta desafinada, por muy poco, pero desafinada con respecto al armónico correspondiente de la columna de armónicos de una nota.

Recordando que las cuerdas al vibrar producen ciertas frecuencias, y que éstas son los armónicos de la frecuencia fundamental, se sabe que una cuerda produce los sonidos que son múltiplos enteros de ésta última. **En acústica llamamos primer armónico al primer múltiplo (la frecuencia multiplicada por uno), es decir, la fundamental. El segundo armónico es el doble de la frecuencia, la octava de la frecuencia fundamental. El tercer armónico corresponde a la doceava, la quinta más octava.

Notemos que para subir una octava hay que multiplicar la frecuencia por 2. Entonces para bajar una octava hay que dividir la frecuencia entre 2. Esto significa que si quiero un intervalo de quinta y no de doceava, hay que dividir la proporción de la doceava entre 2. El resultado es 3/2.

SubeBajaQuinta

Los pitagóricos encontraron esta proporción y decidieron construir la octava a través de quintas:

Do → Sol → Re → La → Mi → Si → Fa# → Do# → Sol# → Re# → La# → Mi# → Si# → ..

Si alguna nota cae fuera de la octava, se divide entre 2 y así se calculan las frecuencias de todas las notas de la escala. Se multiplica la frecuencia que tiene la nota por la que empecemos y se multiplica por 3/2 para encontrar todas las notas por medio de intervalos de quinta.

Si para subir una quinta se multiplica por 3/2, para bajar una quinta se divide entre 3/2. De esta manera encontramos las notas Fa, Sib, Mib,…

Lo cual nos lleva a un problema: el Fa al que llegamos bajando una quinta no es el mismo que al que llegamos subiendo por quintas: Mi# ≠ Fa. De la misma manera Do ≠ Si#.

Si bajamos una quinta, encontramos un Fa con proporción 2/3. Al subirlo a la octava correspondiente a la escala multiplicamos por 2, obteniendo 4/3 (= 1.333… si lo convertimos a decimales).

Por otro lado, si subimos muchas quintas hasta llegar a Mi#, tenemos 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 = 177 147 / 131 072 (= 1.35… si lo convertimos a decimales).

Resumiendo, se tiene que Fa = 4/3 ≠ 177 147/131 072 = Mi#. No son la misma nota. Y esto sucede con todas las notas. Si llegamos a Do por octavas o por quintas, no se llega a la misma nota.

Las potencias de 2 siempre son números pares y las potencias de 3 siempre son impares. Un número par no puede ser igual a un número impar.

A esto se le conoce como el problema de la afinación: por medio de los armónicos no podemos construir una escala que llegue a una octava de manera exacta. Otro modo de decirlo es que, a través de armónicos la octava “no cierra”.

Espiral_de_quintas

En los pitagóricos, esto sucede por quintas. Pero si se toma el armónico de la tercera (5/4) y se buscan tres terceras, aunque debiéramos llegar a la octava no lo logramos. Y esto sucede con cualquier intervalo que se tome.

Do → Mi → Sol# → Si#   ≠  Do’

1   ×  5/4 × 5/4 × 5/4 = 125/128 ≠ 2

Se puede decir que las escalas construidas a partir de armónicos de la frecuencia fundamental de una nota tónica no permiten construir una escala que cuadre. Si tomamos el intervalo de quinta y construimos la escala a través de la quinta, nos sobra. Si tomamos el intervalo de tercera mayor, nos falta, etc.

Es por esta razón que se han propuesto diferentes afinaciones donde no se construye la escala a partir de un solo intervalo, o temperamentos donde los intervalos se ajustan. De esto hablaré en otras entradas.

Ondas estacionarias en cuerdas

La definición de onda es “perturbación que se propaga a través de un medio”. Las ondas estacionarias son ondas que parece que no se mueven. Si la definición de onda habla de propagación, ¿cómo va a haber una onda que no se mueva? Sin embargo sabemos que en las cuerdas fijas de los instrumentos musicales, son las ondas estacionarias las que permiten que escuchemos una afinación y por lo tanto, son las causantes de que escuchemos música.

En un arpa por ejemplo, al tocar la cuerda, lo que se tiene es un impulso que va a la derecha y otro a la izquierda sobre la cuerda. Ambos rebotan en sus respectivos extremos y regresan por donde vinieron. El proceso se repite hasta que la energía se dispersa y la cuerda deja de vibrar.

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Imagen tomada de http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/string/Fixed.html

En la animación, uno de los “picos” viaja a la derecha y el otro a la izquierda.

Cada vez que estos impulsos se cruzan, se suman, por el Principio de superposición (que dice que cuando dos ondas pasan por el mismo lugar al mismo tiempo, se suman). No “chocan”, sino que se suman sus amplitudes en cada momento y siguen su camino. No recuerdo en qué libro leí que era como un principio de coexistencia pacífica. Las dos existen al mismo tiempo y siguen su camino.

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Imagen tomada de https://giphy.com/gifs/TLSCj21FFS6oo

Las ondas de este tipo se llaman estacionarias porque parece que no se mueven, como lo muestra la animación anterior. La onda roja podría ser el rebote de la onda azul y, una onda al sumarse con su rebote forma la onda estacionaria, aquí mostrada en negro. Los puntos que nunca se mueven se llaman nodos (en la animación son los puntos rojos) y los puntos de la cuerda que llegan a los lugares más altos, lo que tienen más movimiento se llaman antinodos. Todos los demás puntos no tienen nombres específicos. Tienen movimientos de amplitud intermedia.

También sabemos que una cuerda no vibra sólo con una frecuencia, sino con muchas frecuencias simultáneas. Si los extremos de las cuerdas son nodos, las cuerdas sólo pueden vibrar con frecuencias que tengan nodos en los extremos de la cuerda. En específico los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

La frecuencia fundamental a la que vibra una cuerda está representada en esta animación que hice:

OndasEstacionarias1

Es la frecuencia más baja a la que puede vibrar una cuerda; el movimiento más lento (la cuerda LA de la guitarra, hace este movimiento 440 veces en un segundo). El ciclo comienza cuando la cuerda está totalmente recta, luego se mueve hacia arriba, regresa al equilibro y llega lo más bajo y regresa al cero. La forma de la cuerda tiene sólo media longitud de onda, medio ciclo de la onda senoidal.

OndasEstacionarias2

El segundo armónico* (en música es la octava) tiene el doble de la frecuencia. Hace el ciclo en la mitad de tiempo. Es decir, mientras la fundamental hace un ciclo, el segundo armónico hace 2. La longitud de onda es la mitad de la fundamental: donde cabía la onda de la frecuencia fundamental ahora caben 2 ondas. También tiene un nodo extra en el centro que aquí no marqué.

OndasEstacionarias3

El tercer armónico (en música es la doceava, la quinta de la siguiente octava) tiene el triple de la frecuencia y la tercera parte de la longitud de onda. También tiene un nodo más que el segundo armónico.

A continuación animaciones de los armónicos 4, 5 y 6.

OndasEstacionarias4OndasEstacionarias5OndasEstacionarias6

La cuerda vibra como la suma de todas estas contribuciones. No es que vibre simultáneamente con esas formas, no está en varias posiciones al mismo tiempo, sino que al sumar las posiciones se obtiene un resultado, y esa es la forma que toma la cuerda.

OndEst

En la animación anterior se ven los 6 armónicos con colores, añadidos uno a uno (es lenta, pero no desesperen). Cada que se añade un armónico se dibuja con negro la resultante de la onda, es decir, la forma que toma la cuerda. Esta resultante desaparece para poder observar el siguiente armónico y vuelve a aparecer con la nueva forma: la que incluye al armónico recién añadido. Casi al final desaparezco la imagen de los armónicos para dejar la pura onda resultante. Todos los armónicos tienen la misma amplitud, lo que en la naturaleza no ocurre (todos los armónicos tienen diferentes amplitudes, que además van cambiando en el tiempo). Además, sólo sumé 6 armónicos; generalmente se necesitan más de 8 para obtener un sonido “real”.

OndEst2

Aquí fui disminuyendo la amplitud de cada armónico. Con respecto a la amplitud del primero, el segundo tiene la mitad, el tercero la tercera parte, etc. Esta es una onda un poco más parecida a una real. Una cuerda vibrando en un instrumento musical como la guitarra, se vé como la primera animación que se mostró en este artículo (sólo hay que añadir que el movimiento va disminuyendo). Les invito a hacer la prueba con Geogebra, donde yo hice mis animaciones.

*En acústica, el primer modo es el primer armónico; en música es “la fundamental”. El segundo armónico en acústica es el segundo modo, aunque en música generalmente se le llama “primer armónico”, ya que la fundamental no se llama “armónico” y por lo tanto la octava sería el primero. A veces los términos cambian. Por eso es importante saber qué intervalo o qué múltiplo de la frecuencia es al que se refieren, contextualizar.

Preparación para clase de afinaciones

Acá dos animaciones (en formato GIF) para recordar el procedimiento de multiplicar y dividir fracciones, que usaremos un poco en la clase.

Para multiplicar fracciones, multiplicamos numerador1 por numerador2 para obtener el numerador; y el denominador1 por el denominador2 para obtener el denominador.

MultFrac

Para dividir, hacemos una multiplicación cruzada: multiplicamos numerador1 por denominador2 para obtener el numerador; y multiplicamos denominador1 por numerador2 para obtener el denominador.

DivFrac

También un video introductorio (dar click en el enlace si no aparece el video):

Proporciones / Intervalos musicales